Anschlussprojekte | Sonderprojekte

Förderbeginn 01.07.2017

Nichtlokale Populationsbilanzgleichungen – Modellierung, Simulation und Optimierung mit Anwendung auf Verkehrsflüssen und Prozessen der chemischen Verfahrenstechnik

M.Sc. Lukas Pflug
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Department Mathematik, Chair for Dynamics, Control

Prof. Günter Leugering
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Department Mathematik, Chair for Dynamics, Control

Dr. Alexander Keimer
University of California, Berkeley
Standard

Prof. Alexandre Bayen
University of California, Berkeley
Standard


Zum einen werden Verkehrsflussmodelle benutzt, um die Steuerung realer Verkehrsflüsse zu verbessern, beispielsweise mit dem Ziel Staus zu reduzieren. Zum anderen ist die Qualität zahlreicher Produkte aus der Pharmaindustrie sowie die Effizienz derer Syntheseprozesse maßgeblich durch das Reifungsverhalten der Partikel während der Herstellung bestimmt. Motiviert von den weit reichenden Konsequenzen zielt unser Forschungsprojekt auf eine detaillierte mathematische Beschreibung dieser Phänomene ab. Dabei kann gezeigt werden, dass die beiden scheinbar komplett verschiedenen Anwendungsgebiete durch sogenannte nichtlokale Populationsbilanzgleichungen (NPB) modelliert werden können. Basierend auf der mathematischen Theorie für NPBen werden wir dafür numerische Lösungsverfahren herleiten und deren Genauigkeit für eine breite Klasse nichtglatter Anfangsdaten und Geschwindigkeitsfunktionen prüfen. Weiterhin werden Sensitivitäten des Modells bezüglich der Prozessdaten bestimmt, um notwendige Optimalitätskriterien erster Ordnung für NPB-restringierte Optimalsteuerungsprobleme aufzustellen. Schließlich soll die obige Theorie, die stark auf Fixpunktargumenten und auf Charakteristiken beruht, auf den Fall mehrdimensionaler Ortsvariablen und auf Systeme von NPBen erweitert werden.

Abschlussbericht
Während der durch BaCaTeC geförderten Periode 2017/2018 war es uns möglich, grundlegende Resultate im Rahmen nichtlokaler Populationsbilanzgleichungen (eine Klasse von hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen) zu formulieren und zu beweisen. Die Allgemeinheit unseres Ansatzes ermöglicht nun der Forschungscommunity, diese Gleichungen auf der Grundlage eines rigorosen mathematischen Rahmens zu benutzen. Sie garantiert außerdem die Konvergenz diverser numerischer Algorithmen. Diese Algorithmenklassen, die nichtlokale Gleichungen basierend auf Charakteristiken lösen, werden zum Ende der gegenwärtigen Förderperiode publiziert werden. Die Grundidee, die alle genannten numerischen Verfahren teilen, besteht darin, dass zunächst eine stückweise konstante Approximation der Lösung der nichtlokalen Gleichung in der räumlichen Variablen betrachtet wird. Danach wird ein „beliebiges“ Zeitintegrationsschema benutzt, um die daraus resultierenden charakteristischen ODEs numerisch zu lösen.

Wir können zeigen, dass die numerische Lösung mit bis zu linearer Geschwindigkeit gegen die analytische konvergiert (für eine detaillierte Lösungstheorie siehe [1]). Ein weiterer Vorteil unserer Verfahren ist ihre Nichtdissipativität. Diese beruht auf der Tatsache, dass kein festes, sondern ein flexibles Gitter benutzt wird, das sich entlang der Charakteristiken bewegt und eine präzise numerische Lösung ohne jegliche numerische Diffusion ermöglicht. Die Qualität der durchgeführten Forschungsarbeiten lässt sich anhand der hochrangigen Fachjournale, in denen die Ergebnisse veröffentlicht wurden (u.a. Journal of Differential Equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, SIAM Journal of Mathematical Analysis), leicht bemessen. Die entwickelten Algorithmen stellen auch ein wichtiges Tool in der Optimierung chemischer Reifungsprozesse (Zusammenarbeit zwischen L. Pflug und G. Leugering mit Prof. W. Peukert, Lehrstuhl für Feststoff- und Grenzflächenverfahrenstechnik (LFG)/FAU Erlangen-Nürnberg) dar. Hierbei zeigte sich, dass die hergeleitete Theorien und deren numerische Umsetzungen bisherigen Algorithmen in Präzision und Geschwindigkeit weit überlegen sind.

Weiterhin konnte die Anwendbarkeit nichtlokaler Modelle auf reale Phänomene innerhalb der Stauforschung vergrößert werden, indem in [4] eine rigorose mathematische Theorie für nichtlokale Bilanzgleichungen auf beschränkten Gebieten aufgestellt wurde, die den Verkehrsfluss auf einer einzelnen Straße nichtlokal modellieren kann und damit die Grundlage für eine Verallgemeinerung auf Verkehrsnetzwerke liefert. Wiederum wurde hierfür der bewährte Ansatz einer Fixpunktgleichung, die den nichtlokalen Einfluss repräsentiert, genutzt.

Für die Optimierung von Verkehrsflüssen ist die mathematische Theorie in signifikantem Maße komplexer und bedarf mehr Forschungsarbeit, um Staumodellierung nichtlokal zu präzisieren und zu validieren. Anwendungsgebiete sind dann Stauvermeidung oder zumindest Staureduzierung durch höher präzisere Verkehrsflusssimulation. In [2,3] konnten wir nicht nur eine ausgiebige Lösungstheorie für den mehrdimensionalen (in der räumlichen Variablen) und den Fall mehrerer miteinander gekoppelter nichtlokaler Gleichungen illustrieren – beispielsweise relevant für die Untersuchung von Schwarmverhalten, von mehreren dispersen Eigenschaften abhängiger Partikelgrößenverteilungen und „multi-commodity“-Stauproblemen – sondern auch eine solide Basis für deren mathematische Optimierung bilden, beinhalten sie doch auch Stabilitätsresultate in Hinblick auf die Eingangsdaten. Solche sind essentiell für Optimalsteuerungsprobleme, die durch nichtlokale Gleichungen restringiert sind.

Die teilnehmenden Forscher und der wissenschaftliche “Output” profitierte immens von der BaCaTeC-Reisemittelförderung: M. Spinolas Forschungsaufenthalt im Feb. 2018 an der UC Berkeley und der darauf folgende Forschungsaufenthalt von A. Keimer, ebenfalls im Feb. 2018, an der FAU Erlangen-Nürnberg ermöglichten das Fundament für die gemeinsamen Forschungsaktivitäten, die in [4,5] instanziiert und detailliert werden. Der gegenwärtige Aufenthalt von L. Pflug an der UC Berkeley (Sep./Okt. 2018) resultierte in [6] und zeigt die Notwendigkeit der Modellierung von Stauverhalten auf Straßennetzwerken mittels nichtlokaler Gleichungen. Außerdem führte der Aufenthalt zum Ergebnis, dass nichtlokale Modelle als Verallgemeinerung der bekannten und weitreichenden Klasse von lokalen Modellen interpretiert werden können und letztere sich als ein Grenzübergang der nichtlokalen Gleichungen ergibt, ein nicht nur anwendungsrelevantes Resultat, sondern auch mathematisches wichtiges Resultat, als es den Zusammenhang zwischen Lokalität und Nichtlokalität erklärt und entsprechende Resultate beweist.

Die derzeitige Förderperiode führte nicht nur zu signifikanten wissenschaftlichen Resultaten, sie brachte auch neue, interessante Fragestellungen zu Tage und eröffnet neue Perspektiven. So finden zwar nichtlokale Bilanzgleichungen immer mehr Anklang in der Forschungsgemeinschaft, jedoch fehlen zum Beispiel in der Verkehrsmodellierung bisher die Theorie und die notwendigen Resultate, die besagten Gleichungen auf Verkehrsnetzwerke, auf Mehrspuren- (zwingende Spurwechsel an Ausfahrten und freiwillige innerhalb von freier Verkehrsströmung) und Mehrklassenverkehrsprobleme zu verallgemeinern. Die jeweiligen nichtlokalen Formulierungen können – als Generalisierung/Erweiterung der bisherigen Theorie – zudem um die Modellierung von Echtzeitnavigationssystemen (Google Waze, Google Maps, Apple Maps, etc.) bereichert werden und das Design von Steuerungssystemen wie Ampeln und Geschwindigkeitsbegrenzungen verbessern.

Schließlich erlaubt die allgemeine Formulierung der Modelle weiterhin Anwendungen innerhalb der chemischen Verfahrenstechnik, des Forschungsgebietes „Supply Chains“ und der „Meinungsbildungstheorie“, wie dies auch im Antrag für die gegenwärtige Förderperiode beschrieben worden war.

Publikationen:
1. Keimer, A. and Pflug, L., “Existence, uniqueness and regularity results on nonlocal balance laws”, Journal of Differential Equations (2017)
2. Keimer, A., Pflug, L. and Spinola. M., “Existence, uniqueness and regularity of multi-dimensional nonlocal balance laws with damping”, Journal of Mathematical Analysis and Applications (2018)
3. Keimer, A., Leugering, G. and Sarkar, T., “Analysis of a system of nonlocal balance laws with weighted work in progress”, Journal of Hyperbolic Differential Equations (2018)
4. Keimer, A., Pflug, L. and Spinola, M., “Nonlocal scalar conservation laws on bounded domains and applications in traffic flow”, SIAM Journal of Mathematical Analysis and Application (accepted, 10/18)
5. Bayen, A., Keimer, A., Porter, E. and Spinola, M., “Time-continuous instantaneous and past time routing on traffic networks: A mathematical analysis on the basis of the link delay model”, submitted to Annual Review of Control, Robotics, and Autonomous Systems (10/18)
6. Keimer, A. and Pflug, L., “On approximation of local conservation laws by nonlocal conservation laws”, submitted to SIAM Journal of Applied Dynamical Systems (10/18)