Förderprojekte

Förderbeginn 01.07.2018

Stabilität in (zufälligen) Netzwerken

Asst. Prof. Nils Detering
University of California, Santa Barbara
Department of Statistics and Applied Probability

Prof. Dr. Ralf Werner
Universität Augsburg
Institut für Mathematik

Im Rahmen der Digitalisierung und Globalisierung werden immer mehr Akteure miteinander vernetzt, was erhöhte Abhängigkeiten nach sich zieht. Beispiele hierfür sind Kommunikationsnetzwerke, Stromnetze oder Finanznetzwerke. Um stabile Systeme zu gewährleisten, müssen sowohl bei der Konzeption als auch bei der Wartung Entscheidungen entsprechend getroffen werden. Mathematisch lassen sich Netzwerke durch Graphen abbilden; dabei werden Einrichtungen zu Knoten und Verbindungen zu Kanten. Der (zufällige) Ausfall eines Akteurs oder einer Verbindung entspricht dann dem Entfernen eines Knoten beziehungsweise einer Kante. Relevant ist nun, in wie weit sich die Struktur des Graphen dadurch ändert. Im schlimmsten Fall zerfällt eine Zusammenhangskomponente in zwei, was einer Aufspaltung des Systems gleichkommt. Aber auch verlängerte Wege belasten das System und können zu Verzögerungen führen. Ziel ist die Entwicklung eines Risikomaßes zur Quantifizierung dieser Ausfallschäden, wenn möglich reduziert auf wenige aussagekräftige Graphcharakteristika.

Abschlussbericht
Aktivitäten
Die Fördermittel wurden für zwei Forschungsaufenthalte genutzt. Zum einen besuchte Prof. Dr. Nils Detering im Dezember 2018 die Universität Augsburg, zum anderen forschte Christian Drescher von Mai bis Juli 2019 an der University of California in Santa Barbara.

Ergebnisse
Ziel der Forschungen war die mathematische Untersuchung der Stabilität von Stromnetzwerken gegenüber partiellen Ausfällen der Netzwerkinfrastruktur. Wir haben das Projekt mit einer umfangreichen Literaturrecherche begonnen, um einen Überblick über die verschiedenen Netzmodelle zu erhalten. Anhand der Vielzahl an Veröffentlichungen konnten wir feststellen, dass der aktuelle Forschungsstand primär in zwei Stränge zerfällt. Einerseits gibt es die Modelle von Zhifang Wang et al., die in einer Vielzahl von Artikeln weiter ausgebaut und verfeinert werden, andererseits einige wenige davon unabhängige Modelle anderer Autoren. Zwar sind all diese Modelle in der Lage, einzelne Stromnetzwerke zu erzeugen, erlauben aber aufgrund ihrer hohen Komplexität keine mathematisch-analytische Untersuchung der Netzwerkstabilität. Auch ist eine numerisch- empirische Monte-Carlo-Analyse nur mit äußerst großem Aufwand möglich, da bereits das Erzeugen eines einzelnen Netzwerksamples mit erheblichem Rechenaufwand verbunden ist. Insgesamt haben wir so einen weitreichenden Einblick in verschiedene Stromnetzmodelle erhalten, konnten aber leider kein geeignetes Modell für weiterführende mathematische Untersuchungen identifizieren.

Ausblick
Derzeit laufen Anstrengungen einen erheblichen Ausbau der Rechnerkapazitäten zu erreichen. Mit einer derartigen Ausstattung wäre es eventuell möglich, mehrere Instanzen von Stromnetzwerken zu erzeugen und statistisch zu untersuchen.
Den alternativen Ansatz, die Modelle soweit zu vereinfachen, dass sie für analytische Methoden zugänglich sind, haben wir bereits im Laufe der der o.g. Recherchen verwerfen müssen, da so keine aussagekräftigen Resultate zu erwarten wären.